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工程电磁学 | 2019-02-26 | [notes] | [maxwell] |
麦克斯韦大法好!!
先供上麦克斯韦方程 膜拜膜拜( o=^•ェ•)o
$$ \begin{eqnarray} \nabla\cdot\vec{E} &=& \frac{\rho}{\varepsilon_0} \ \nabla\cdot\vec{B} &=& 0 \ \nabla\times\vec{E} &=& -\frac{\partial B}{\partial t} \ \nabla\times\vec{B} &=& \mu_0\left(\vec{J}+\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t} \right) \end{eqnarray} $$
第一话 - 高斯生库伦
- 假设空间中两点电荷$Q_{1}$,$Q_{2}$,相距d,欲求其相互作用的电场力。
- 现以$Q_{1}$为圆心,$d$为半径做球。根据高斯law可知球面上的电通量只与球内电荷量有关,本例中为$\frac{Q_{1}}{\varepsilon_0}$。
- 将上式中电通量除以求表面积可得电场强度$\frac{Q_{1}}{4\pi d^{2}\varepsilon_0}$
- 场强乘以$Q_{2}$即可得库仑力$\frac{Q_{1}Q_{2}}{4\pi d^{2}\varepsilon_0}$
- 令$k=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}$整理得 $$F = \frac{k Q_{1}Q_{2}}{d^{2}}$$ 证毕
第二话 - 高斯金箍棒
- 假设一均匀带电长度正无穷细杆,电荷密度为$\lambda$,求距其$d$处场强。
- 绕杆画一个过待求点的圆柱,设高为$x$。
- 由于杆长无限,圆柱两底面电场被抵消。
- 圆柱侧面积为$2\pi dx$
- 圆柱内电荷量为$\lambda x$
- 引入高斯,得 $$ 2\pi dxE = \frac{\lambda x}{\varepsilon_{0}} $$ 整理得 $$ E = \frac{\lambda}{2\pi d\varepsilon_{0}} $$ 证毕
高斯球球球
- 首先要有一个带电小球,电量$Q$,想求其外部距其圆心$d$处场强。
- 然后可列式 $$ 4\pi d^2 E = \frac{Q}{\varepsilon_0} $$ 整理得 $$ E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 d^2} $$ 毕
高斯大面
- 首先有一个均匀带电无穷面,带电面密度$\rho$,欲求距其$d$的点场强。
- 以无穷面为中央横截面,做一个底面圆心为待求点的圆柱,半径为$r$。
- 由于电场线皆平行,只有两个底面有电场线穿过。
- 可列式 $$ 2\pi r^2 E = \frac{\rho \pi r^2}{\varepsilon_0} $$ 整理得 $$ E = \frac{\rho}{2\varepsilon_0} $$ 完事
To Be Continued...